摘要: 本文討論了影響房地產價格的主要因素，找出了價格和其主要因素之間近似成線性關系，從而建立表示房地產價格的數學模型——多元線性回歸模型，並對模型進行了全方面的論述，得出求解其中各個參數的方法，並最終求出房地產價格。建模過程中，首先用科學分析的方法，確定主要因素並對其作數學抽象，再針對各因素綜合運用多種數學方法進行分析求解。第壹，用概率論與數理統計的方法找出價格和各個因素之間的近似線性關系，確定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的參數；第三，用回歸分析確定模型精度及檢驗，從而得出壹個完整的數學模型；第四，通過該模型深入分析了影響房地產價格主要因素，提出了壹些政策建議，把高的開發成本降下來，同時調整供給結構。第五，根據模型及建議進行合理的預測，最後分析模型的優缺點並提出了改進方向。
壹 問題重述
所謂房地產泡沫直的是商品房售價遠遠超過起實際的價值。近幾年來，我國各大城市房價出現了普遍的持續上漲、高居不下的情況。房價的上漲使生活成本大幅度增加，導致許多低收入人群買房難，目前我國城鎮居民的人均居住面積只有發達國家的壹半左右，甚至低於不少發展中國家，居民不是沒有住房需求，而是現有的貨幣支付能力無法使其去實現購房的願望。盡管現在買房可以貸款，可以分期付款，但這也需要居民有相當好的收入水平，還要用好多年來供房直到中年甚至更晚才可以還清，壹生中最好的時光就都交給了房子。因此如何有效地抑制價格上揚，甚至能夠降低房價，是壹個備受關註的社會問題。下面就就這個問題展開分析與建立數學模型，來研究如何有效的抑制房價上揚。
二 基本假設
影響房價的因素有許多，房屋建造成本、市場供求關系、城市經濟發展、城市規模、等等。現假設房屋價格與各個因素間的關系均為線性關系，且：
（1） 房屋建造成本用竣工房屋造價來代替。
（2） 城市經濟發展用人均GDP來表示。
（3） 城市規模用建成區面積來表示。
（4） 市場供求關系通過消費者的支付能力竣工房屋價格來體現，而消費者的支付能力有通過在崗職工的平均工資來衡量。
（5） 房地產價格通過房屋均衡價格來表示
（6） 忽略消費者偏好如有無學校、綠化率、停車位、熱水供應狀態、通信、房屋建築形式等對住房價格的影響。
（7） 忽略消費成本如交通費用、物業費用、停車費用等對房價的影響。
（8） 忽略壹些炒作對房價的影響。
三 基本符號、變量和用語
A：表示人均GDP序列（元）
B：表示在崗職工平均工資序列（元）
C：表示竣工房屋造價序列（元/㎡）
D：城鄉人均儲蓄余額序列/元
Y：住房均衡價格指標序列，均衡價格(equilibrium price)是指消費者對某種商品的需求量等於生產者所提供的該商品的供給量時的市場價格。均衡價格是由需求和供給兩種力量***同決定的。它與吸納率和交易價格有關。[1]
：為隨機變量；
Uy,Ua,Ub,UcUd分別為Y,A,B,C,D序列的均值序列
ΔY,ΔA,ΔB,ΔC,ΔD分別表示Y-Uy,A-Ua,B-Ub,C-Uc,D-Ud序列，即中心化序列
：序列的方差
, , , ：模型參數
S(a)：為殘差的平方和
n ：統計城市數（樣本數）
R：中心化序列的協方差
四 建立模型並分析
壹、 模型推導過程
表壹為我國12個主要城市住房均衡價格及其相關因素的統計表。依照此表我們可以求得各因素與住房均衡價格的相關系數進而判斷各因素對房價的影響程度如表二所示。
表壹 12個主要城市住房均衡價格及其相關因素的統計表[1]
序號 城市 住宅均衡價格指標
/元/㎡ 人均GDP
/元 建成面積
km2 非農業人口變化率 在崗職工平均工資
/元 人均住宅面積
/m 城鄉人均儲蓄余額/元 竣工房屋造價
/元/㎡
1 北京 3494.97 19846 488 0.072 14054 13.97 21447.03 2037
2 天津 1636.2 15976 378 0.041 11123 8.6 12417.38 1061
3 石家莊 1424.85 10425 108 0.147 7983 3.16 8105.87 767
4 太原 859.21 10678 177 0.076 7378 12.23 13147.17 760
5 呼和浩特 872.57 7489 79 0.16 7346 6.22 6721.47 866
6 沈陽 1655.62 14989 202 0.028 8511 10.03 13317.48 978
7 大連 1935.43 18429 234 0.079 10259 8.45 13857.8 978
8 長春 1222.49 10261 154 0.073 8618 6.5 6949.56 1087
9 哈爾濱 1502.94 9142 165 0.345 7577 6.96 6957.27 897
10 上海 3119.62 30805 550 0.052 16641 14.96 19778.24 2232
11 南京 1934.31 16816 194 0.108 11931 8.59 10569.5 910
12 杭州 2311.06 19961 171 0.147 12187 6.54 12054.16 1217
同時可以求得各個因素序列的平均值，見附表壹
附表壹各個因素序列的平均值
住宅均衡價格指標
/元/㎡ 人均GDP
/元 建成面積
km2 非農業人口變化率 在崗職工平均工資
/元 人均住宅面積
/m 城鄉人均儲蓄余額/元 竣工房屋造價
/元/㎡
平均 1830.8 15401 241.67 0.111 10300 8.85 12110. 1149
表二 各因素與住房均衡價格的相關系數表
人均GDP 建成面積 非農業人口變化率 在崗職工平均工資 人均住宅面積 城鄉人均儲蓄余額
竣工房屋造價
相關系數r 0.848 0.824 -0.236 0.910 0.766 0.836 0.894
由表二可得，住房均衡價格與非農業人口變化率、人均住宅面積、建成面積的相關系數相對要小，所以這裏我們忽略二者的影響，只考慮其他主要因素的影響，主要包括：人均GDP、在崗職工平均 工資、竣工房屋造價、城人均儲蓄余額等方面
通過表壹我們依次做出主要因素和住房均衡價格的關系圖：
圖1
圖2
圖3
圖4
由均衡房價和人均GDP、均衡房價和人均工資、均衡房價和竣工造價, 均衡房價和居民平均儲蓄的關系圖可以看出，均衡房價和人均GDP、人均工資、竣工造價、居民平均儲蓄存在著相依的關系，很容易想到用多元線性回歸模型
Y= A+ B+ C+ D+…….+
表示因變量Y,對自變量A,B,C,D…….的相依性，其中 , , , …….為參數
模型特點如下：
1、 A、B、C、D….為壹般變量， 為隨機變量；
2、 Y為壹般變量和隨機變量的線形組合，Y序列的值既取決於A,B,C序列，又受制於 。
如表三所示各序列
壹般假定為白噪聲序列，假定其服從均值為0，方差為 的正態分布
表三
序號 城市 Y A B D C
1 北京 3494.97 19846 14054 21447.03 2037
2 天津 1636.2 15976 11123 12417.38 1061
3 石家莊 1424.85 10425 7983 8105.87 767
4 太原 859.21 10678 7378 13147.17 760
5 呼和浩特 872.57 7489 7346 6721.47 866
6 沈陽 1655.62 14989 8511 13317.48 978
7 大連 1935.43 18429 10259 13857.8 978
8 長春 1222.49 10261 8618 6949.56 1087
9 哈爾濱 1502.94 9142 7577 6957.27 897
10 上海 3119.62 30805 16641 19778.24 2232
11 南京 1934.31 16816 11931 10569.5 910
12 杭州 2311.06 19961 12187 12054.16 1217
將其中心化後得
Y-Uy= *(A-Ua)+ *(B-Ub)+ *(C-Uc)+ *(D-Ud)+
上式即為
ΔY = *ΔA + *ΔB + *ΔC + *ΔD+
現在對模型的參數進行最小二乘法估計
其中ΔY、ΔA、ΔB、ΔC、ΔD各序列（矩陣）的值見表四
表四
序號 城市 ΔY ΔA ΔB ΔD ΔC
1 北京 1664.197 4444.58 3753.33 9336.79 887.33
2 天津 -194.573 574.58 822.33 307.14 -88.67
3 石家莊 -405.923 -4976.42 -2317.67 -4004.37 -382.67
4 太原 -971.563 -4723.42 -2922.67 1036.93 -389.67
5 呼和浩特 -958.203 -7912.42 -2954.67 -5388.77 -283.67
6 沈陽 -175.153 -412.42 -1789.67 1207.24 -171.67
7 大連 104.657 3027.58 -41.67 1747.56 -171.67
8 長春 -608.283 -5140.42 -1682.67 -5160.68 -62.67
9 哈爾濱 -327.833 -6259.42 -2723.67 -5152.97 -252.67
10 上海 1288.847 15403.58 6340.33 7668 1082.33
11 南京 103.537 1414.58 1630.33 -1540.74 -239.67
12 杭州 480.287 4559.58 1886.33 -56.08 67.33
令a= ( , , , ) ,則a 的最小二乘估計，應使殘差 平方和S(a)達到最小，其中
S(a)= = (ΔY t- *ΔA t- *ΔB t- *ΔC - *ΔDt) ,取 S(a) =0即可得到：
S(a) = 2*(ΔY t- *ΔA t- *ΔB t- *ΔCt- *ΔD)*(-ΔA t)=0---------------------------式1
用Rya表示序列ΔY和ΔA的協方差，Raa表示ΔA序列的方差，Rba,表示序列ΔB和ΔA的協方差，Rca表示序列ΔC和ΔA的協方差：式1可寫成：
-Rya+ *Raa+ *Rba+ *Rca+ *Rda=0-----------------------------式2
同理 S(a)＝o推出：
-Ryb+ *Rab+ *Rbb+ *Rcb+ *Rdb =0-----------------------------式3
S(a)＝0推出：
-Ryc+ *Rac+ *Rbc+ *Rcc+ *Rdc =0-----------------------------式4
S(a)＝0推出：
-Ryd+ *Rad+ *Rbd+ *Rcd+ *Rdd=0-----------------------------式5
把式2、式3，式4，式5寫成矩陣相乘的形式為：
* =
推求參數的公式為：
= * --------------式6
具體到本題中，我們運用往年的統計數據對模型中各個參數的求解。
經計算得各個協方差的值為：(利用matlab軟件)
Raa=38730662
Rba=Rab=18250255
Rca=Rac=2543343
Rda=Rad=25327000
Rbb=8106483
Rcb=Rbc=1257098
Rdb=Rbd=11269000
Rcc=211174.1
Rdc=Rcd=1882000
Rdd=22936000
Rya=4475718
Ryb=2197259
Ryc=343656.3
Ryd=3251000
通過矩陣運算得到 , , , 的值為：(利用matlab軟件)
,＝0.0583
=-0.0487
=1.1621
=0.0059
把系數 , , , 代回原模型得：
Y-1830.77=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)+
利用表三中的均衡房價、人均GDP、在崗職工平均工資、竣工房屋造價、城鄉人均儲蓄余額反推 的值，即：
＝Y-1830.77-〔0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)〕
得到的12個 值為：
表五 殘差數據
城市序號 殘差
1 501.5639
2 -86.8221
3 239.8316
4 -391.561
5 -279.054
6 -45.8512
7 115.1803
8 -287.093
9 228.7031
10 -604.037
11 387.9655
12 228.1861
平均值 0.584425
圖5
由於 的平均值為0.584,相對Y值來說非常小，可以近似看成是0，從而予以忽略
故模型進壹步化簡為：
Y-1830.77=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+ 1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)
即
Y=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)+1830.77
即 六 模型的優化
雖然我們采用統計規律建立起了表示房地產價格的多元線形回歸模型，而由此計算出來的結果從整體來看，大體趨勢與實際還是比較符合的。但該模型仍然存在著很多問題。
首先，影響房地產價格的因素有好多，而在建立模型時我們忽略掉了很多被認為不好似很重的因素。
除了以上模型中考慮到的影響房屋價格的因素之外，還有壹系列其他因素的影響：
（1）房屋的結構、質量、功能、新舊程度是影響房屋價格的重要因素。由於使用不同的建築材料，不同的施工機構、施工方法和施工技術力量而形成價格差異。
（2）房屋的層數、層次和朝向。房屋有高屋，多層和低層之分，由於其所用設備、施工技術:施工機械化程度不同，各種層數、各種朝向的房屋形成壹定的價格差異。
（3）環境因素。房屋所處位置是在城區還是在郊區，交通便利的繁華地段還是背街小巷，交通、文化教育和社區服務設施都對房屋價格產生很大的影響。
（4）國家政策。房屋價格受政策因素的影響很大，在某種情況下，政策因素往往成為房屋價格的決定因素。例如:我國在計劃經濟時期，實行住宅不作為商品的福利分房政策，其價格遠遠低於價值，嚴重影響了房屋的再生產。
（5）還有壹些人的投機心理，想利用房價上漲來撈壹把，多置房，想以房屋增殖來賺取利潤。
以上幾個因素對住宅價格都有壹定的影響，但由於時間倉促和能力有限，不能對諸多因素進行壹壹考慮，僅考慮了影響比較大的因素。由此我們采用的是“把握主要矛盾，忽略次要矛盾”的方法，因此該模型仍然具有壹種普遍性和代表性，表示了壹種基本的思路和算法，在此基礎上在考慮其他因素時，此方法仍然是適用的。
其次，我們用來確定模型參數的樣本序列僅僅有12組數據，這可以說是犯了應用統計規律的大戒，因為統計規律本來只是適用於壹些大樣本甚至是無窮大序列，如果在樣本很小的情況下應用，結果誤差會很大，甚至有時候是錯誤的。但我們在這裏還是用了這樣壹個小的樣本來計算，實際上只是為了說明壹種計算的方法，而我們在提出該模型時也確實參考很多的數據，才將之間的個各因素確定為線性的。在計算時為了節省時間又能夠說明問題，所以我們只選用了幾組數據。
還有就是模型中有些因素存在***線性問題，有待進壹步改進。
針對以模型中存在的問題，我們提出如下改進建議。
（1）、對更多的城市的統計數據（樣本）進行模型運算，我想精度壹定會更高。
（2）、綜合考慮城市的各方面因素，如考慮建成面積、流動人口、交通環境等因素。
（3）考慮到***線性問題，我們盡量利用相互獨立的因素或利用壹些其他更經典的模型。