湯米、威利、瑪吉和安妮用20美分買了20粒糖果，已知每粒牛奶軟糖值4美分，橡皮口香糖1美分可買4粒，巧克力糖1美分可買2粒。
試問:孩子們買了多少粒各色糖?
壹位大發善心的貴婦人在路上遇到壹個窮光蛋，她把錢袋裏的壹半錢再加上1美分給了他。這家夥是美國基督教組織托缽僧協會的壹名成員，他壹面道謝，壹面在貴婦人的衣服上用粉筆作了壹個他們組織所規定的標記，意思是"壹個好東西"。這樣壹來，她壹路上就遇到許多要她施舍的人。
對於第二名乞討者，她把剩下錢的壹半再另外加上2美分給了他。而對第三名乞討者，她把剩下錢的壹半外加3美分給了他。這樣壹來，她現在身邊只剩下1美分了。
試問:開始時，她口袋裏有多少錢?
、遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增; ***燈三百八十壹,請問各層幾盞燈（問問塔尖幾盞燈）?
——明代數學家程大位編著的《算法統宗》
2、有個學生資性好，壹部《孟子》三日了，每日添增壹倍多，問君每日讀多少。
（《孟子》全書34685字）
3、三百七十八裏關，初行健步步為難，腳痛每日減壹半，六朝才的道其關，要見每朝行裏數，請君仔細祥推算。
4、放牧任粗心大意，三畜偷偷吃苗青；苗主扣住牛馬羊，要求賠償五鬥糧，三畜戶主願賠償，牛馬羊吃得異樣，羊吃了馬的壹半，馬吃了牛的壹半，請問各畜賠多少。
5．蒲第壹天長3尺，以後逐日減半；莞第壹天長1尺，以後逐日倍增，問多少天後蒲、莞長度相等？——《九章算術》
6．今有金菙（鞭子）長5尺。斬本壹尺重四斤，斬末壹尺重二斤。問次壹尺各重幾何？——《九章算術》
7．良馬初日行壹百九十三裏，日增十三裏，求其15日所行裏數。——《九章算術》
8．今有女善織，日益功疾。初日織五尺，今壹月織九匹三丈。問日益幾何？——《孫子算經》
9．今有初門往見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？——《孫子算經》
10．今有戶出銀壹斤八兩壹十二銖。今以家有貧富不等，令戶別作差品，通融出之。最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問戶幾何？——《孫子算經》
1、蝴蝶效應
氣象學家Lorenz提出壹篇論文，名叫「壹只蝴蝶拍壹下翅膀會不會在Taxas州引起龍卷風？」論述某系統如果初期條件差壹點點，結果會很不穩定，他把這種現象戲稱做「蝴蝶效應」。就像我們投擲骰子兩次，無論我們如何刻意去投擲，兩次的物理現象和投出的點數也不壹定是相同的。Lorenz為何要寫這篇論文呢？
這故事發生在1961年的某個冬天，他如往常壹般在辦公室操作氣象電腦。平時，他只需要將溫度、濕度、壓力等氣象數據輸入，電腦就會依據三個內建的微分方程式，計算出下壹刻可能的氣象數據，因此模擬出氣象變化圖。
這壹天，Lorenz想更進壹步了解某段紀錄的後續變化，他把某時刻的氣象數據重新輸入電腦，讓電腦計算出更多的後續結果。當時，電腦處理數據資料的數度不快，在結果出來之前，足夠他喝杯咖啡並和友人閑聊壹陣。在壹小時後，結果出來了，不過令他目瞪口呆。結果和原資訊兩相比較，初期數據還差不多，越到後期，數據差異就越大了，就像是不同的兩筆資訊。而問題並不出在電腦，問題是他輸入的數據差了0.000127，而這些微的差異卻造成天壤之別。所以長期的準確預測天氣是不可能的。
參考資料：
2、動物中的數學“天才”
蜜蜂蜂房是嚴格的六角柱狀體，它的壹端是平整的六角形開口，另壹端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小。
丹頂鶴總是成群結隊遷飛，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精確地計算還表明“人”字形夾角的壹半——即每邊與鶴群前進方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結晶體的角度正好也是54度44分8秒！是巧合還是某種大自然的“默契”？
蜘蛛結的“八卦”形網，是既復雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺的圓規也很難畫出像蜘蛛網那樣勻稱的圖案。
冬天，貓睡覺時總是把身體抱成壹個球形，這其間也有數學，因為球形使身體的表面積最小，從而散發的熱量也最少。
真正的數學“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是壹天“畫”壹條。奇怪的是，古生物學家發現3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學家告訴我們，當時地球壹天僅21.9小時，壹年不是365天，而是400天。(生活時報)
3、麥比烏斯帶
每壹張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱(edge)，如果有壹張紙它有壹條棱而且只有壹個面，使得壹只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何壹點到達其他任何壹點，這有可能嗎?事實上是可能的只要把壹條紙帶半扭轉，再把兩頭貼上就行了。這是德國數學家麥比烏斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年發現的，自此以後那種帶就以他的名字命名，稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得壹支數學的分支拓樸學得以蓬勃發展。
4、數學家的遺囑
阿拉伯數學家花拉子密的遺囑，當時他的妻子正懷著他們的第壹胎小孩。“如果我親愛的妻子幫我生個兒子，我的兒子將繼承三分之二的遺產，我的妻子將得三分之壹；如果是生女的，我的妻子將繼承三分之二 的遺產，我的女兒將得三分之壹。”。
而不幸的是，在孩子出生前，這位數學家就去世了。之後，發生的事更困擾大家，他的妻子幫他生了壹對龍鳳胎,而問題就發生在他的遺囑內容。
如何遵照數學家的遺囑，將遺產分給他的妻子、兒子、女兒呢？
5、火柴遊戲
壹個最普通的火柴遊戲就是兩人壹起玩，先置若幹支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數目可先作壹些限制，規定取走最後壹根火柴者獲勝。
規則壹：若限制每次所取的火柴數目最少壹根，最多三根，則如何玩才可致勝？
例如：桌面上有n=15根火柴，甲、乙兩人輪流取，甲先取，則甲應如何取才能致勝？
為了要取得最後壹根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後壹步之前的輪取中，甲不能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則不管乙取幾根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而贏了遊戲。同理，若桌上留有8根火柴讓乙去取，則無論乙如何取，甲都可使這壹次輪取後留下4根火柴，最後也壹定是甲獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數為4、8、12、16...等讓乙去取，則甲必穩操勝券。因此若原先桌面上的火柴數為15，則甲應取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴數為18呢？則甲應先取2根（∵18-2=16）。
規則二：限制每次所取的火柴數目為1至4根，則又如何致勝？
原則：若甲先取，則甲每次取時，須留5的倍數的火柴給乙去取。
通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數目必須為k+1之倍數。
規則三：限制每次所取的火柴數目不是連續的數，而是壹些不連續的數，如1、3、7，則又該如何玩法？
分析：1、3、7均為奇數，由於目標為0，而0為偶數，所以先取者甲，須使桌上的火柴數為偶數，因為乙在偶數的火柴數中，不可能再取去1、3、7根火柴後獲得0，但假使如此也不能保證甲必贏，因為甲對於火柴數的奇或偶，也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴數奇偶相反。若開始時是奇數，如17，甲先取，則不論甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶數，乙隨後又把偶數變成奇數，甲又把奇數回覆到偶數，最後甲是註定為贏家；反之，若開始時為偶數，則甲註定會輸。
通則：開局是奇數，先取者必勝；反之，若開局為偶數，則先取者會輸。
規則四：限制每次所取的火柴數是1或4（壹個奇數，壹個偶數）。
分析：如前規則二，若甲先取，則甲每次取時留5的倍數的火柴給乙去取，則甲必勝。此外，若甲留給乙取的火柴數為5之倍數加2時，甲也可贏得遊戲，因為玩的時候可以控制每輪所取的火柴數為5（若乙取1，甲則取4；若乙取4，則甲取1），最後剩下2根，那時乙只能取1，甲便可取得最後壹根而獲勝。
通則：若甲先取，則甲每次取時所留火柴數為5之倍數或5的倍數加2。 6、韓信點兵
韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統禦兵士多少，韓信答說，每3人壹列余1人、5人壹列余2人、7人壹列余4人、13人壹列余6人……。劉邦茫然而不知其數。
我們先考慮下列的問題：假設兵不滿壹萬，每5人壹列、9人壹列、13人壹列、17人壹列都剩3人，則兵有多少？
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（註：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。
中國有壹本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」
答曰：「二十三」
術曰：「三三數之剩二，置壹百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百壹十減之，即得。凡三三數之剩壹，則置七十，五五數之剩壹，則置二十壹，七七數之剩壹，則置十五，即得。」
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中占有壹席非常重要的地位。