推導過程來自百度同學，如下。
如圖:正四棱錐底面的邊長P-ABCD =a，邊長PA = Pb = A。
那麽，斜高PM=PN=√3a/2，高度PO' = √ 2a/2，△ PMN的內切圓就是球的大圓，O是球心，切點T在斜高上。
可以從rt △ PTO ∽ rt △ po' n得到。
T0/NO'=PO/PN，
即。r/(a/2)=(√2a/2-r)/(√3a/2)
通過求解上面的公式，我們可以得到r=(√6-√2)a/4。
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正四棱錐有八條邊，邊長為a，底為正方形，邊為正三角形。？
如果有壹個外球，那麽它的中心到正四棱錐的五個頂點的距離壹定相等，都是r？
可以想象，這個球體的中心在正四棱錐底部的投影壹定在正方形的中心(因為它壹定是對稱的)。？
可以說，圓心和頂點的連線正好是正四棱錐的高度h，所謂球心也壹定在這個高度上。中心(正方形底部的中心)到底部四個頂點的距離為(√2)a/2，邊長為A，則中心與高度H形成的直角三角形可計算為高度H = √{ A & amp；sup2-[(√2)a/2]& amp；sup2} =√(a & amp；sup2/2)=(√2)a/2 .？
現在，球心到頂點的距離為r，在剛才分析的直角三角形中，球心將高為H的直角邊分成兩部分，球心到底面的距離為l=h-r=(√2)a/2-r，球心形成的三角形， 正四棱錐底面的頂點和底面中心的斜邊長度為R(從球體中心到四棱錐底面頂點的距離)，直角邊分別為
r & ampsup2=[(√2)a/2]& amp；sup2+[(√2)a/2-r]& amp；sup2？
r & ampsup2= a & ampsup2/2+a & amp；sup2/2-(√2)ar+r & amp；sup2？
a & ampsup2-(√2)ar=0？
A≠0，∴a-(√2)r=0，r=(√2)a/2(這個結果說明正四棱錐外接圓的球心就是底面的中心。)?
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