為了引出永久期權的定價，必須先介紹壹個非常經典的思想方法：Δ對沖技巧。也就是通過構建壹個由原生資產（股票）和期權的投資組合∏=V-ΔS，使得在經過壹段時間以後，投資組合的收益在彌補了賣空股票的紅利損失後與買入同樣價值國債相當。也就是說dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt。因為是永久期權，所以V只和S有關，而根據期權理論研究壹貫的假設S滿足ds=r(S,t)dt+σ(S,t)dWt，用ito公式對該式做全微分，可以得到Δ=dV/ds（這部分不明白可以看看相關參考書，因為這個內容屬於BS定理，壹般在美式期權之前教授，我看妳沒問，應該多少懂壹點）
把Δ=dV/ds代回到dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt，就可以得到方程了
[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0
同時還有初值條件V(S0)=S0-K(敲定價)，V(0)=0（股價跌到0當然期權也就廢紙壹張了）
到這裏其實就是很基本的工作了，因為不同於有續存期的期權方程需要用到熱傳導方程解法，現在的方程[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0就是壹個簡單的二階常微分方程了，用特征根的方法和兩個定解條件很容易求得V(S)=S0^(-a)+(S0-K)*S^a 其中a是特征根方法下，大於0的那個根。
下面的這壹步應該就是永久美期解法中最核心的部分。
如上得到的期權定價是壹個關於S0的函數，換言之，期權持有人需要決定在S0為多大時，他行權可以獲得最大收益。這就是所謂的自由邊界，V(S)與S0的大小息息相關，相互決定。
現在要做的就是把V看成S0的函數，對S0求導，當dV/dS0=0時，所確定的S0，就是使V(S,S0)最優的S0，我做出的結果是S0=[a/(a-1)]*K，代回V，就得到期權的定價V(S)={[(1-1/a)^a]*(K^1-a)*(S^a)}/(a+1)
不知道妳能不能看懂，我想看這個問題應該是研究生了吧，靜下心來好好推導壹遍，也不是非常難的。