ARCH模型由Engle (R .)於1982提出，並由Borus Levin (T .，1986)發展為GARCH(廣義ARCH)-廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛應用於經濟學的各個領域。尤其是在金融時間序列分析中。
按照通常的想法，自相關的問題是時間序列數據特有的，異方差是截面數據的特性。但是在時間序列數據中，會出現異方差嗎？會怎麽出現？
Engel和Cragg (Kraft，d .，1983)在分析宏觀數據時發現了壹些現象:時間序列模型中擾動方差的穩定性比通常假設的要差。恩格爾的結論表明，在分析通貨膨脹模型時，會出現大量大大小小的預測誤差，說明存在異方差性，其中預測誤差的方差取決於後續擾動項的大小。從事預測股票價格、通貨膨脹率和外匯匯率等金融時間序列的研究人員發現，他們預測這些變量的能力隨著時間的推移發生了相當大的變化。預測的誤差在某個時期比較小，在某個時期比較大，然後在另壹個時期比較小。這種變化可能是由於金融市場的波動性，金融市場很容易受到謠言、政治變化、政府貨幣和財政政策變化等的影響。這表明預測誤差的方差存在壹定的相關性。
為了描述這種相關性，Engel提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是方差(=？T2)取決於時間(t？1)，它依賴於ut2- 1。
(壹)ARCH模型
更具體地說，讓我們回到k變量回歸模型:
(5.1.1)
並且假設在時間(t？1)在所有信息已知的情況下，擾動項ut的分布為:
~ (5.1.2)
即ut遵循0的平均值，(？0+ ?12T-1)是方差的正態分布。
由於ut在(5.1.2)中的方差依賴於前期的平方擾動項，我們稱之為ARCH(1)過程:
但是，很容易普及。
例如，ARCH (p)過程可以寫成:
(5.1.3)
如果擾動項的方差沒有自相關，就會有
H0:
此時此刻
這樣，就得到誤差方差的同方差。
恩格爾已經表明，通過以下回歸很容易檢驗上述虛擬假設:
(5.1.4)
其中，？t表示從原始回歸模型估計的OLS殘差(5.1.1)。
2) GARCH(1，1)模型
我們常常有理由認為ut的方差取決於很多時刻之前的變化量(尤其是在金融領域，尤其是使用日數據或周數據的應用)。這裏的問題是我們要估計很多參數，很難做到準確。但是如果我們能認識到方程(5.1.3)是正義的呢？T2分布滯後模型，我們可以用壹個或兩個？t2的滯後值代替了ut2的許多滯後值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩種不同的設置:壹種是條件均值，壹種是條件方差。
在標準化GARCH(1，1)模型中:
(5.1.5)
(5.1.6)
其中:xt為1×(k+1)維外生變量向量。它是(k+1)×1的向量。(5.1.5)中給出的均值方程是帶有誤差項的外生變量函數。因為？T2是壹種基於以前信息的遠期預測方差，所以稱為條件方差。
(5.1.6)中給出的條件方差方程是以下三項的函數:
1.常數項(均值):？
2.用均值方程殘差平方的滯後(5.1.5)來衡量前期得到的波動率信息:ut2-1(ARCH項)。
3.前期的預測差異:？T2-1 (GARCH項目)。
GARCH(1，1)模型中的(1)是指階數為1的GARCH項(括號中的第壹項)和階數為1的ARCH項(括號中的第二項)。壹個普通的ARCH模型是GARCH模型的特例，即條件方差方程中不存在滯後預測方差。t2的描述。
在EViews中，ARCH模型在誤差為條件正態分布的假設下，采用極大似然函數法進行估計。例如，對於GARCH(1，1)，T周期的對數似然函數為:
(5.1.7)
在…之中
(5.1.8)
這種解釋通常可以用金融領域來解釋，因為代理人或交易者可以通過建立長期平均值的加權平均值(常數)、前期的期望方差(GARCH項)和前期觀察到的關於波動率的信息(ARCH項)來預測當期的方差。如果上升或下降的資產回報出乎意料地大，那麽交易者將增加他們對下壹個方差的預期。這個模型還包括了財務收入數據中經常可以看到的變動群體，其中收入的巨大變動可能伴隨著進壹步的巨大變動。
(三)方差方程的回歸因子
等式(5.1.6)可以擴展為包含外生或預定回歸因子z的方差等式:
(5.1.11)
請註意，從該模型獲得的預測方差不能保證為正。可以引入某些形式的回歸算子，這些算子總是正的，以便最小化產生負預測值的可能性。例如，我們可以問:
(5.1.12
GARCH(p，q)模型
高階GARCH模型可以通過選擇大於1的P或Q進行估計，稱為GARCH(p，Q)。其方差表示為:
(5.1.13)
這裏p是GARCH項的階，q是ARCH項的階。
金融理論表明，可觀測風險較高的資產可以獲得較高的平均收益，因為人們普遍認為金融資產的收益應該與其風險成正比，風險越大，預期收益越高。這種用條件方差來表示預期風險的模型被稱為ARCH-in-mean模型或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中，我們將條件方差引入均值方程:
(5.1.14)
ARCH-M模型的另壹種不同形式是將條件方差轉換為條件標準差:
或者取對數
ARCH-M模型通常用於資產的預期收益與預期風險密切相關的金融領域。預期風險的估計系數是對風險收益交易的壹種度量。舉個例子，我們可以認為壹個股票指數的票息，比如上證指數的票息，取決於壹個常數項，通貨膨脹率。t和條件方差:
這類模型(其中預期風險用條件方差表示)被稱為GARCH-M模型。
ARCH-M模型通常用於資產的預期收益與預期風險密切相關的金融領域。預期風險的估計系數是對風險收益交易的壹種度量。舉個例子，我們可以認為壹個股票指數的票息，比如上證指數的票息，取決於壹個常數項，通貨膨脹率。t和條件方差:
這類模型(其中預期風險用條件方差表示)被稱為GARCH-M模型。