John C. Hull 和 Alan White 在1990?年描述了第壹個Hull-White模型。該模型在當今市場上仍然很流行。
該模型為短期利率模型，通常具有如下的Dynamics。
最受歡迎的低維馬爾可夫模型便是Hull-White （赫爾-懷特）模型。通常寫為HW模型。使用的因子數量壹般為壹到兩個，這裏我們將重點關註Hull-White單因子模型。
另外，考慮到最新的CVA計算，已經對原始的傳統模型執行了更有效的更新。這些現代模型包括GSR模型（Gaussian Short Rate）和LGM模型（Linear Gaussian Model），但是在這裏我們考慮傳統的HW模型。
在HW模型中，假設短期利率遵循正態分布且具有平均回歸性。
粗略地說，平均回歸系數是
?如果利率超過長期平均水平，則有下降的趨勢。
?如果利率低於長期平均水平，則有上升趨勢。
平均回歸強度用於控制不同期限利率之間的相關性。期限結構模型是壹個多資產模型，因此存在許多基礎資產。
此處，利率模型中的基礎資產是指具有各種到期日的貼現債券。
平均回歸強度會影響具有不同到期日的貼現債券價格之間的相關性，我將在另壹篇文章中對此進行詳細介紹。
經常出現在教科書中的Black-Scholes模型中的標的資產變化率（Return）為正態分布，但是在大多數利率模型中標的資產本身便遵循正態分布，HW模型也是如此。這是因為利率本身已經代表了變化率（Return）。
HW模型具有以下三個參數。
?Theta
?Kappa
?Sigma
在傳統的HW模型中，唯壹依賴於時間變化的參數是Theta，而Kappa和Sigma都是平坦（Flat）的。
首先，Theta代表平均回歸水平。它設置為復制當前的收益率曲線。由於此類Theta是通過解析公式計算得出的，因此不需要進行Calibration。但是，由於Theta的解析公式包含瞬時遠期利率（Forward Rate），因此很難處理。
順便說壹下，現代的HW模型使用的公式是將Theta替換為Today的貼現債券價格。然後，Kappa（κ）表示均值回歸的強度。理想的是校準不同期限的利率之間的相關性，但實際上，它將通過優化市場上的掉期價格與Sigma壹起進行校準（Calibration）。
同時，在現代HW模型中，Kappa是由交易員輸入的，壹般大概會設置比如5％之類的適當值。當然，適當並不是完全隨機的，但通常會設置為與Totem的百慕大掉期（Bermudan Swaption）價格相匹配的值。
最後，Sigma代表短期利率波動，並通過優化對市場掉期價格進行了校準。
HW模型的用法是
?帶可贖回條款的利率Exotic產品定價
?用作利率外匯，利率股價等混合模型的利率部分的建模
?生成用於CVA等XVA計算的利率Scenarios
等等。