數 學 試 卷
壹、選擇題(本大題***12個小題，每小題2分，***24分．在每小題給出的四個選項中，只有壹項是符合題目要求的)
1． (－1)3等於( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
解析本題考查了有理數的乘方。(－1)3＝－1，故選A.
答案：A
2．在實數範圍內，x有意義，則x的取值範圍是( )
A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ＞0 D．x ＜0
解析本題考查了二次根式有意義的條件，由二次根式有意義的條件可知：x ≥0，故選A。
答案：A
3．如圖1，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，則對角線AC等於( )
A．20
B．15
C．10
D．5
解析本題考查了菱形的性質和等邊三角形的判定。根據菱形的性質知：AB=BC,∠B+∠BCD=180°,又有∠BCD=120°，∴∠B=60°,所以三角形ABC為等邊三角形，所以AC=AB=5。
答案：D
4．下列運算中，正確的是( )
A．4m－m＝3 B．―(m―n)＝m＋n
C．(m2)3＝m6 D．m2÷m2=m
解析本題考查整式的運算。
答案：C
5．如圖2，四個邊長為1的小正方形拼成壹個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位於右上方的小正方形內，則∠APB等於( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析本題考查了圓周角和圓心角的有關知識。根據圓周角定理：壹條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的壹半，所以本題的答案為90°×12＝45°。
答案：B
6．反比例函數y＝1x(x＞0)的圖象如圖3所示，隨著x值的增大，y值( )
A．增大
B．減小
C．不變
D．先減小後增大
解析本題考查反比例函數的性質。當k＞0時，反比例函數在每壹象限內，y的值隨x的增大而減小。
答案：B
7．下列事件中，屬於不可能事件的是( )
A．某個數的絕對值小於0 B．某個數的相反數等於它本身
C．某兩個數的和小於0 D．某兩個負數的積大於0
解析本題考查事件的分類，事件根據其發生的可能性大小分為必然事件、隨機事件、不可能事件.由實數的絕對值的意義可知選項A中的事件是不可能事件，故選A.
答案：A
8．圖4是某商場壹樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示壹樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長是8 m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是( )
A． m
B．4 m
C． m
D．8 m
解析本題屬於基礎題，考查學生利用三角函數的定義進行簡單計算的能力，過C作CE⊥AB,在Rt△CBE中，由三角函數的定義可知CE=BC?sin30°=8× =4m.故選B.壹些同學往往對三角函數的定義記不準確而出錯。
答案：B
9．某車的剎車距離y(m)與開始剎車時的速度x(m/s)之間滿足二次函數y＝120x2 (x＞0)，若該車某次的剎車距離為5 m，則開始剎車時的速度為( )
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
解析本題考查二次函數的實際應用。若剎車距離為5m，即當y=5m時，5=120x2.所以x=10，（x=-10舍），故開始剎車時的速度為10m/s.
答案：C
10．從棱長為2的正方體毛坯的壹角，挖去壹個棱長為1的小正方體，得到壹個如圖5所示的零件，則這個零件的表面積是( )
A．20
B．22
C．24
D．26
解析本題考查整體的思想及簡單幾何體表面積的計算能力.從正方體毛坯壹角挖去壹個小正方體得到的零件的表面積等於原正方體表面積,即這個零件的表面積為2×2×6=24,故選C.
答案：C
11．如圖6所示的計算程序中，y與x之間的函數關系所對應的圖象應為( )
解析本題考查根據計算程序確定函數圖象的能力.根據計算程序易得y與x之間的函數關系式為y=-2x+4，由k=-2＜0可知，y隨x的增大而減小，且當x=0時，y=4；當y=0時，x=2.所以符合題意的函數圖象是D.
答案：D
12．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 … 這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16 … 這樣的數稱為“正方形數”．從圖7中可以發現，任何壹個大於1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．下列等式中，符合這壹規律的是( )
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16
C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
解析本題考查探究、歸納的數學思想方法。題中明確指出：任何壹個大於1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和。顯然選項A中13不是“正方形數”；選項B、D中等式右側並不是兩個相鄰“三角形數”之和，所以答案為C。
答案：C
二、填空題(本大題***6個小題，每小題3分，***18分．把答案寫在題中橫線上)
13．比較大小：－6 －8．(填“＜”、“=”或“＞”)
解析本題是基礎題，考查了實數大小的比較.兩負數比大小，絕對值大的反而小；或者直接想象在數軸上比較，右邊的數總比左邊的數大.
答案：＞；
14．據中國科學院統計，到今年5月，我國已經成為世界第四風力發電大國，年發電量約 為12 000 000千瓦．12 000 000用科學記數法表示為 ．
解析本題考查的是科學記數法。任意壹個絕對值大於10或絕對值小於1的數都可寫成a×10n的形式。其中1≤|a|<10.對於絕對值大於10的數,指數n等於原數的整數位數減去1.所以12000 000=1.2×107
答案：1.2 × 107；
15．在壹周內，小明堅持自測體溫，每天3次．測量結果統計如下表：
體溫(℃) 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7
次 數 2 3 4 6 3 1 2
則這些體溫的中位數是 ℃．
解析本題考查了中位數的概念。由表提供的信息可知，壹組數據的中位數是將這組數據從小到大（或從大到小）依次排列時，處在最中間位置的數，據此可知這組數據的中位數應是第11個數為36.4。解答這類題學生常常對中位數的計算方法掌握不好而錯選。
答案：36.4；
16．若m、n互為倒數，則mn2－(n－1)的值為 ．
解析本題考查倒數的知識。與該知識點相關的還有絕對值、相反數等，此類題目只要按照其概念解答即可。由m,n互為倒數可得mn2－(n－1)＝n－(n－1)＝1。
答案：1；
17．如圖8，等邊△ABC的邊長為1 cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點 處，且點 在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為 cm．
解析折疊問題的實質是“軸對稱”，解題關鍵是找出經軸對稱變換所得的等量關系.將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，所以AD=A′D,AE=A′E，則陰影部分圖形的周長等於BC+BD+CE+ A′D+A′E=BC+BD+CE+ AD+AE= BC+AB+AC=3cm.
答案：3；
18．如圖9，兩根鐵棒直立於桶底水平的木桶中，在桶中加入水後，壹根露出水面的長度是它的13，另壹根露出水面的長度是它的15．兩根鐵棒長度之和為55 cm，此時木桶中水的深度是 cm．
解析本題是壹道能力題，考查方程思想及觀察圖形提取信息的能力.設較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm，由題意得 ，解得： ，因此木桶中水的深度為30×23=20cm.
答案：20．
三、解答題(本大題***8個小題，***78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(本小題滿分8分)
已知a = 2， ，求 ÷ 的值．
答案：解：原式=
= ．
當a = 2，b＝－1時，
原式 = 2．
註：本題若直接代入求值，結果正確也相應給分
20．(本小題滿分8分)
圖10是壹個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD於點E．已測得sin∠DOE = ．
(1)求半徑OD；
(2)根據需要，水面要以每小時0.5 m的速度下降，則經過多長時間才能將水排幹？
答案：解：(1)∵OE⊥CD於點E，CD=24，
∴ED = =12．
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE = = ，
∴OD =13(m)．
(2)OE=
= ．
∴將水排幹需：
5÷0.5=10(小時)．
21．(本小題滿分9分)
某商店在四個月的試銷期內，只銷售A、B兩個品牌的電視機，***售出400臺．試銷結束後，只能經銷其中的壹個品牌，為作出決定，經銷人員正在繪制兩幅統計圖，如圖11－1和圖11－2．
(1)第四個月銷量占總銷量的百分比是 ；
(2)在圖11－2中補全表示B品牌電視機月銷量的折線；
(3)為跟蹤調查電視機的使用情況，從該商店第四個月售出的電視機中，隨機抽取壹臺，求抽到B品牌電視機的概率；
(4)經計算，兩個品牌電視機月銷量的平均水平相同，請妳結合折線的走勢進行簡要分析，判斷該商店應經銷哪個品牌的電視機．
答案：解：(1)30%；
(2)如圖1；
(3) ；
(4)由於月銷量的平均水平相同，從折線的走勢看，A品牌的月銷量呈下降趨勢，而B品牌的月銷量呈上升趨勢．
所以該商店應經銷B品牌電視機．
22．(本小題滿分9分)
已知拋物線y＝ax2＋bx經過點A(－3，－3)和點P (t，0)，且t ≠ 0．
(1)若該拋物線的對稱軸經過點A，如圖12，請通過觀察圖象，指出此時y的最小值，並寫出t的值；
(2)若 ，求a、b的值，並指出此時拋物線的開口方向；
(3)直接寫出使該拋物線開口向下的t的壹個值．
答案：解：(1)－3．
t =－6．
(2)分別將(－4，0)和(－3，－3)代入y＝ax2＋bx，得
解得
向上．
(3)－1(答案不唯壹)．
註：寫出t＞－3且t≠0或其中任意壹個數均給分
23．(本小題滿分10分)
如圖13－1至圖13－5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切於端點時刻的位置，⊙O的周長為c．
閱讀理解：
(1)如圖13－1，⊙O從⊙O1的位置出發，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB = c時，⊙O恰好自轉1周．
(2)如圖13－2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O1BO2 = n°，⊙O在點B處自轉 周．
實踐應用：
(1)在閱讀理解的(1)中，若AB = 2c，則⊙O自轉 周；若AB = l，則⊙O自轉 周．在閱讀理解的(2)中，若∠ABC = 120°，則⊙O在點B處自轉 周；若∠ABC = 60°，則⊙O在點B處自轉 周．
(2)如圖13－3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O從⊙O1的位置出發，在∠ABC外部沿A－B－C滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉 周．
拓展聯想：
(1)如圖13－4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切於點D的位置出發，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切於點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由．
(2)如圖13－5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切於點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切於點D的位置，直接寫出⊙O自轉的周數．
答案：解：實踐應用
(1)2； ． ； ．
(2) ．
拓展聯想
(1)∵△ABC的周長為l，∴⊙O在三邊上自轉了 周．
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三個頂點處，⊙O自轉了 (周)．
∴⊙O***自轉了( ＋1)周．
(2) ＋1．
24．(本小題滿分10分)
在圖14－1至圖14－3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M．
(1)如圖14－1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，
求證：FM = MH，FM⊥MH；
(2)將圖14－1中的CE繞點C順時針旋轉壹個銳角，得到圖14－2，
求證：△FMH是等腰直角三角形；
(3)將圖14－2中的CE縮短到圖14－3的情況，
△FMH還是等腰直角三角形嗎？(不必
說明理由)
答案：(1)證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵點N與點G重合，點M與點C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．
(2)證明：連接MB、MD，如圖2，設FM與AC交於點P．
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH．
∴四邊形BCDM是平行四邊形．
∴ ∠CBM =∠CDM．
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH，
且∠MFB =∠HMD．
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．
(3)是．
25．(本小題滿分12分)
某公司裝修需用A型板材240塊、B型板材180塊，A型板材規格是60 cm×30 cm，B型板材規格是40 cm×30 cm．現只能購得規格是150 cm×30 cm的標準板材．壹張標準板材盡可能多地裁出A型、B型板材，***有下列三種裁法：(圖15是裁法壹的裁剪示意圖)
裁法壹 裁法二 裁法三
A型板材塊數 1 2 0
B型板材塊數 2 m n
設所購的標準板材全部裁完，其中按裁法壹裁x張、按裁法二裁y
張、按裁法三裁z張，且所裁出的A、B兩種型號的板材剛好夠用．
(1)上表中，m = ，n = ；
(2)分別求出y與x和z與x的函數關系式；
(3)若用Q表示所購標準板材的張數，求Q與x的函數關系式，
並指出當x取何值時Q最小，此時按三種裁法各裁標準板材
多少張？
答案：解：(1)0 ，3．
(2)由題意，得
， ∴ ．
，∴ ．
(3)由題意，得 ．
整理，得 ．
由題意，得
解得 x≤90．
註：事實上，0≤x≤90 且x是6的整數倍
由壹次函數的性質可知，當x=90時，Q最小．
此時按三種裁法分別裁90張、75張、0張．
26．(本小題滿分12分)
如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A後立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ於點D，交折線QB－BC－CP於點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒(t＞0)．
(1)當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；
(2)在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式；(不必寫出t的取值範圍)
(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
(4)當DE經過點C 時，請直接寫出t的值．
答案：解：(1)1， ；
(2)作QF⊥AC於點F，如圖3， AQ = CP= t，∴ ．
由△AQF∽△ABC， ，
得 ．∴ ．
∴ ，
即 ．
(3)能．
①當DE∥QB時，如圖4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 ．解得 ．
②如圖5，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 ．解得 ．
(4) 或 ．
註：①點P由C向A運動，DE經過點C．
方法壹、連接QC，作QG⊥BC於點G，如圖6．
， ．
由 ，得 ，解得 ．
方法二、由 ，得 ，進而可得
，得 ，∴ ．∴ ．
②點P由A向C運動，DE經過點C，如圖7．
，