設u為區域D內的調和函數,f(z)=ux-iuy,問f(z)是否為區域D內的解析函數，為什麽？

U’x=u''xx，V‘y=-u''yy，U’y=u''xy，V‘x=-u''yx。調和函數的定義是具有二階連續偏導數並且滿足拉普拉斯方程的二元函數。根據u滿足拉普拉斯方程u''xx+u''yy=0，知U’x=V‘y，再根據u二階偏導連續，知兩個混合偏導數相等u''xy=u''yx，即U’y=-V‘x，因此f(z)滿足柯西黎曼方程，它在D內解析。