路程、時間、速度是行程問題的三個基本量，它們之間的關系如下：
路程=時間×速度，
時間=路程÷速度，
速度=路程÷時間。
這壹講就是通過例題加深對這三個基本數量關系的理解。
例1 壹個車隊以4米/秒的速度緩緩通過壹座長200米的大橋，***用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個車隊***有多少輛車？
分析與解：求車隊有多少輛車，需要先求出車隊的長度，而車隊的長度等於車隊115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊115秒行的路程為4×115=460（米）。
故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊***有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。
例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到。如果希望中午12點到，那麽應以怎樣的速度行進？
分析與解：這道題沒有出發時間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時間和路程。
假設A，B兩人同時從甲地出發到乙地，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到。B到乙地時，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時間B比A多行的路程。因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時間是
20÷（15-10）=4（時）。
由此知，A，B是上午7點出發的，甲、乙兩地的距離是
15×4=60（千米）。
要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，速度應為
60÷（12-7）=12（千米/時）。
例3 劃船比賽前討論了兩個比賽方案。第壹個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的壹半；第二個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時間的壹半。這兩個方案哪個好？
分析與解：路程壹定時，速度越快，所用時間越短。在這兩個方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個方案中，因為兩種速度劃行的時間相同，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。
在甲、丙兩段中，兩個方案所用時間相同；在乙段，因為路程相同，且第二種方案比第壹種方案速度快，所以第二種方案比第壹種方案所用時間短。
綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第壹種方案少，即第二種方案好。
例4 小明去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返***用3.9時。問：小明往返壹趟***行了多少千米？
分析與解：因為上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米壹***需要的時間，則可以求出上山及下山的總路程。
因為上山、下山各走1千米***需
所以上山、下山的總路程為
在行程問題中，還有壹個平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時間。
例如，例4中上山與下山的平均速度是
例5壹只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那麽螞蟻爬行壹周平均每分鐘爬行多少厘米？
解：設等邊三角形的邊長為l厘米，則螞蟻爬行壹周需要的時間為
螞蟻爬行壹周平均每分鐘爬行
在行程問題中有壹類“流水行船”問題，在利用路程、時間、速度三者之間的關系解答這類問題時，應註意各種速度的含義及相互關系：
順流速度=靜水速度+水流速度，
逆流速度=靜水速度-水流速度，
靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，
水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。
此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。
例6 兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時，逆流而上行完全程需19時。求這條河的水流速度。
解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2
=（418÷11-418÷19）÷2
=（38-22）÷2
=8（千米/時）
答：這條河的水流速度為8千米/時。
練習24
1.小燕上學時騎車，回家時步行，路上***用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時間。
2.某人要到60千米外的農場去，開始他以5千米/時的速度步行，後來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他送到了農場，總***用了5.5時。問：他步行了多遠？
3.已知鐵路橋長1000米，壹列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋***用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。
4.小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那麽下山用了多少時間？
5.汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達後立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。
6.兩地相距480千米，壹艘輪船在其間航行，順流需16時，逆流需20時，求水流的速度。
7.壹艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需要6時，逆流需要8時，水流速度為2.5千米/時，求輪船在靜水中的速度。
練習24
1.30分。
提示：騎車比步行單程少用70-50=20（分）。
2.15千米。
解：設他步行了x千米，則有x÷5+（60-x）÷18=5.5。
解得x=15（千米）。
3.10米/秒；200米。
解：設火車長為x米。根據火車的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80。
解得x=200（米），火車速度為（1000+200）÷120=10（米/秒）。
4.2時15分。
解：上山用了60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）。因為下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）。由120÷30=40知，下山途中休息了3次，所以下山***用120+5×3=135（分）=2時15分。
5.57.6千米/時。
6.3千米/時。
解：（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/時）。
7.17.5千米/時。
解：設兩碼頭之間的距離為x千米。由水流速度得
解得x=120（千米）。所以輪船在靜水中的速度為120÷6-2.5=17.5（千米/時）。
第25講 行程問題（二）
本講重點講相遇問題和追及問題。在這兩個問題中，路程、時間、速度的關系表現為：
在實際問題中，總是已知路程、時間、速度中的兩個，求另壹個。
例1甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，相遇後3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離。
分析與解：先畫示意圖如下：
圖中C點為相遇地點。因為從C點到B點，甲車行3時，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。
這120千米乙車行了120÷60=2（時），說明相遇時兩車已各行駛了2時，所以A，B兩地的距離是 （40+60）×2=200（千米）。
例2小明每天早晨按時從家出發上學，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同壹時刻相遇。有壹天小明提前出門，因此比平時早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？
分析與解：因為提前9分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經比平時多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），
所以小明比平時早出門900÷60=15（分）。
例3小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時迎面開來壹列火車，從車頭到車尾經過他身旁***用18秒。已知火車全長342米，求火車的速度。
分析與解：
在上圖中，A是小剛與火車相遇地點，B是小剛與火車離開地點。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因為C到B正好是火車的長度，所以18秒小剛與火車***行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），
從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。
例4 鐵路線旁邊有壹條沿鐵路方向的公路，公路上壹輛拖拉機正以20千米/時的速度行駛。這時，壹列火車以56千米/時的速度從後面開過來，火車從車頭到車尾經過拖拉機身旁用了37秒。求火車的全長。
分析與解
與例3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機從B走到A，火車比拖拉機多行壹個火車車長的路程。用米作長度單位，用秒作時間單位，求得火車車長為
速度差×追及時間
= [（56000-20000）÷3600]×37
= 370（米）。
例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成壹個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問：至少經過多長時間甲才能看到乙？
分析與解：當甲、乙在同壹條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙壹條邊，即追上300米需
300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是壹條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位於某條邊的中點，乙位於另壹條邊的中點，所以甲、乙不在同壹條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊後可以看到乙，***需
例6 獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？
分析與解：這道題條件比較隱蔽，時間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什麽這樣變換）：
（1）獵狗跑12步的路程等於兔子跑21步的路程；
（2）獵狗跑12步的時間等於兔子跑16步的時間。
由此知，在獵狗跑12步的這段時間裏，獵狗能跑12步，相當於兔子跑
也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。
練習25
1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發步行5分鐘後，小軍騎車從B村出發，又經過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？
2.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。
3.小紅和小強同時從家裏出發相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠？
4.壹列快車和壹列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？
5.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘後必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。問：A，B兩地相距多遠？
6.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發後多長時間兩人第壹次在同壹邊上行走？
7.壹只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗壹跳前進3米，兔子壹跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠將被獵狗追上？
練習25
1.60米。
解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。
2.176千米。
3.2196米。
解：因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第壹次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），
推知小強第二次走了14分，第壹次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）。
4.8秒。
提示：快車上的人看見慢車的速度與慢車上的人看見快車的速度相同，
（秒）。
5.10000米。
解：出發後10分鐘兩人相距（250-100）×10=1500（米）。
米，需要
乙從出發***行了100分鐘，所以A，B兩地相距100×100=10000（米）。
6.104分。
解：甲追上乙壹條邊（400米）需400÷（50-46）=100（分），
此時甲走了50×100=5000（米），位於某條邊的中點，再走200米到達前面的頂點還需4分，所以出發後100+4=104（分），兩人第壹次在同壹邊上行走。
7.280米。
解：狗跑3×3=9（米）的時間兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子時兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）。
第26講 行程問題（三）
在行程問題中，經常會碰到相遇問題、追及問題、時間路程速度的關系問題等交織在壹起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數量之間的關系，並把綜合問題分解成幾個單壹問題，然後逐次求解。
例1 兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發12分鐘後，兩人與十字路口的距離相等；出發後75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？
分析與解：如左下圖所示，出發12分鐘後，甲由A點到達B點，乙由O點到達C點，且OB=OC。如果乙改為向南走，那麽這個條件相當於“兩人相距1800米，12分鐘相遇”的相遇問題，所以每分鐘兩人壹***行1800÷12=150（米）。
如右上圖所示，出發75分鐘後，甲由A點到達E點，乙由O點到達F點，且OE=OF。如果乙改為向北走，那麽這個條件相當於“兩人相距1800米，75分鐘後甲追上乙”的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24（米）。
再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）÷2=63（米），
出發後75分鐘距十字路口63×75=4725（米）。
例2 小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發，面包車遇到小轎車後30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠？
分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點相遇，此時大客車到達B點，大客車與面包車行BA這段路程***需30分鐘。
由大客車與面包車的相遇問題知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；
小轎車比大客車多行BA（45千米）需要的時間，由追及問題得到45÷（60-42）=2.5（時）；
在這2.5時中，小轎車與面包車***行甲、乙兩地的壹個單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距（60+48）×2.5=270（千米）。
由例1、例2看出，將較復雜的綜合問題分解為若幹個單壹問題，可以達到化難為易的目的。
例3 小明放學後，沿某路公***汽車路線以不變速度步行回家，該路公***汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有壹輛公***汽車從後面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的壹輛公***汽車。問：該路公***汽車每隔多少分鐘發壹次車？
分析與解：這是壹道數量關系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數解法復雜且不易理解。為了搞清各數量之間的關系，我們對題目條件做適當變形。
假設小明在路上向前行走了63分鐘後，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這裏取63，是由於[7，9]=63。這時在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，後63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那麽在兩個63分鐘裏他***遇到朝同壹方向開來的16輛車，則發車的時間間隔為
例4 甲、乙兩人在長為30米的水池裏沿直線來回遊泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發，來回***遊了11分鐘，如果不計轉向的時間，那麽在這段時間裏，他們***相遇了多少次？
分析與解：甲遊壹個單程需30÷1=30（秒），乙遊壹個單程需30÷0.6=50（秒）。甲遊5個單程，乙遊3個單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個過程的時間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實折線與虛折線的交點表示相遇點。
以2.5分鐘為壹個周期，11分鐘包含4個周期零1分鐘，而在壹個周期中的第1分鐘內，從圖中看出兩人相遇2次，故壹***相遇了5×4+2=22（次）。
例4用畫圖的方法，直觀地看出了壹個周期內相遇的次數，由此可見畫圖的重要性。
例5甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂後就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時乙距山頂還有400米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂的距離。
分析與解：本題的難點在於上山與下山的速度不同，如果能在不改變題意的前提下，變成上山與下山的速度相同，那麽問題就可能變得容易些。
如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那麽題中“甲回到山腳時
山頂的距離是