師：現在我們大家已經學習和掌握了壹些排列問題和組合問題的求解方法．今天我們要在復 習、鞏固已掌握的方法的基礎上，來學習和討論排列、組合綜合題的壹般解法．
先請壹位同學幫我們把解排列問題和組合問題的壹般方法及註意事項說壹下吧!
生：解排列問題和組合問題的壹般方法直接法、間接法、捆綁法、插空法等．求解過程中要 註意做到“不重”與“不漏”．
師：回答的不錯!解排列問題和組合問題時，當問題分成互斥各類時，根據加法原理，可用 分類法；當問題考慮先後次序時，根據乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法． 當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中“相鄰”問題可 以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等．
解排列問題和組合問題，壹定要防止“重復”與“遺漏”．
（教師邊講，邊板書）
互斥分類——分類法
先後有序——位置法
反面明了——排除法
相鄰排列——捆綁法
分離排列——插空法
（二）舉例
師：我下面我們來分析和解決壹些例題．
（打出片子——例1）
例1 有12個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數．
（1）分為兩組，壹組7人，壹組5人；
（2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人；
（3）分為甲、乙兩組，壹組7人，壹組5人；
（4）分為甲、乙兩組，每組6人；
（5）分為兩組，每組6人；
（6）分為三組，壹組5人，壹組4人，壹組3人；
（7）分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；
（8）分為甲、乙、丙三組，壹組5人，壹組4人，壹組3人；
（9）分為甲、乙、丙三組，每組4人；
（10）分為三組，每組4人．
（教師慢速連續讀壹遍例1，同時要求學生審清題意，仔細分析，周密考慮，獨立地求解． 這是壹個層次分明的排列、組合題，涉及非平均分配、平均分配和排列組合綜合．各小題之 間有區別、有聯系，便於學生分析、比較、歸納，有利於學生加深理解，提高能力）
師：請壹位同學說壹下各題的答案（只需要列式）．
生：（1），（2），（3）都是 ；（4），（5）都是 ；（6），（7），（8） 都是 ；（9），（10）都是
師：從這個同學的解答中，我們可以看出他對問題的考慮分先後次序，用位置法求解是掌握 了的．但是還請大家審清題意，看（3）與（1），（2）；（5）與（4）；（8）與（6）， （7）；（10）與（9）是否分別相同，有沒有出現“重復”和“遺漏”的問題．
（找班裏水平較高的壹位學生回答）
生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）並不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都錯了，既出現了“重復”也出現了“遺漏”的問題．（3）的答案是 ；（5）是 ；（8）是 （10）是
（教師在學生回答時板書各題答案）
師：回答的正確，請說出具體的分析．
生：（3）把12人分成甲、乙兩組，壹組7人，壹組5人，但並沒有指明甲、乙誰是7人，誰是5人，所以要考慮甲、乙的順序，再乘以 ；（8）也是同壹道理．（5）把12人分成兩組， 每組6人，如果是分成甲組、乙組，那麽***有 種不同分法，但是（5）只要求平均分成兩組，這樣甲、乙組兩元素的所有不同排列順序，甲乙、乙甲***P22個就是同壹種分組了，所以（5）的答案是 ；（10）的道理相同．
師：分析的很好!我們大家必須認識到，題目中具體指明甲、乙與沒有具體指明是有區別的 ．如果在解題過程中不加以區別，就會出現“重復”和“遺漏”的問題，這是解決排列、組 合題時要特別註意的．
例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配問題，雖然（1），（6）都沒有指出 組名，而（2），（7）給出了組名，但是在非平均分配中是壹樣的．這是因為（2），（7）不僅給出了組名，而且還指明了誰是幾個人，這壹點上又與（3），（8）有差異．（3），（8）給了組名卻沒有指明誰是幾個人．
題中（4），（5），（9），（10）都屬於平均分配問題，在平均分配中，如果沒有給出組 名，壹定要除以組數的階乘!
如果12個人分成三組，其中壹組2人，另外兩組都是5人，求所有不同的分法種數．這裏有不平均（壹組2人），又有平均（兩組都是是5人）．怎麽辦?
生：分兩步完成．第壹步：12個人中選2人的方法數C212；第二步：剩下的10個人平均分成兩組，每組5人的方法數 ，根據乘法原理得到，***有 種不同的分法．
師：很好!大家已經理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的計算，部分平均 分配問題先考慮不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．這樣分配問題已徹底 解決了．
請看例題2．
（打出片子——例2）
（1）6男2女排成壹排，2女相鄰； （2）6男2女排成壹排，2女不能相鄰； （3）4男4女排成壹排，同性者相鄰； （4）4男4女排成壹排，同性者不能相鄰．
（教師讀題、巡視）
師：請壹位同學說出（1），（2）的答案．
生甲：N1＝ ；N2＝
師：完全正確!他是用捆綁法解決“相鄰”問題的，把2女“捆綁”在壹起看成壹組，與6男***7組，組外排列為 ，女生組內排列為 ，得2女相鄰排法數N1＝ ；（2）是用捆 綁法結合排除法來解得，從總體排列 中排除N1得2女不相鄰的排法數N2＝ （教師的復述是為了使水平較差學生明白解題思路，了解分析方法，真正理解解法）
師：（2）的不相鄰的分離排列還有沒有其它解法?
生乙：可以用插空法直接求解．6男先排實位，再在7個空位中排2女，***有N2＝ 種不同排法．
（板書（1），（2）算式）
師：對於（2）的兩種解法思路不同，但殊途同歸，結果壹樣，都是正確的．兩種解法解決 分離問題是否都很方便呢?試想，如果“5男3女排成壹排，3女都不能相鄰“ 與 壹樣嗎?大家動手計算壹下．
生：前者是36 000，後者是14 400，不壹樣，肯定有問題．
師： 是什麽?
生：3女相鄰．
師：3女相鄰的反面是什麽?
生： 是3女不都相鄰，其中有2女相鄰，不是3女都不相鄰．
師：這壹例題說明什麽?
生：不相鄰的分離排列還是用插空法要穩妥壹些．
師：請大家下課後想壹想，用捆綁法結合排除法能否解決上述問題，如果能解決，應該怎麽 做?我們繼續分析和解決（3），（4）兩小題．
N3＝ ； N4＝ ．
（板書（3），（4）的算式）
師：非常正確!（4）吸取了（2）的教訓，沒有用 ，並且沒有簡單的用 插空，而是考慮到了男、女都要排實位，否則會出現．
（板書）
（女男男女男女男女）兩男或兩女相鄰的問題．這時同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數 位，女偶數位，或者對調．
（通過對例2的討論和分析，能夠幫助學生對於分離排列、排除法以及插空法有更清楚的認 識，只有這樣學生才會找到合理的解法，提高分析和解決問題的能力．）
師：我們再來看壹個例題．
（打出片子——例3）
例3 某乒乓球隊有8男7女***15名隊員，現進行混合雙打練習，兩邊都必須是1男1女，***有多少種不同的搭配方法?
（教師朗讀壹遍例3後巡視）
師：請同學說壹下答案．
生：N＝ （板書此式）．
師：怎麽分析的呢?
生：每壹種搭配都需要2男2女，先把4名隊員選出來，有 種選法，然後考慮4人的排法，故乘以
師：選出的4名隊員做全排列，那麽（板書）男A男B、女A女B行嗎?
生：不行，有“重復”了，應該乘以什麽呢?
師：這就需要我們再把問題想想清楚了，當選出2男2女隊員進行混合雙打時，有幾種搭配方法呢?
（板書）男——男女
①Aa Bb
②Ab Ba
③Ba Ab
④Bb Aa
以上四種嗎?
生：不是!③與②，④與①屬於同壹種，只有2種搭配，應該乘以2．
師：這就對了．N= ，還可以用下面的思路：先在8男中選2男各據壹側，是排列問題，有 種方法；再在7女中選2女與之搭配，是組合問題，有 種方法，壹***有N= 種搭配方法．
（板書）
解法1：N=
解法2：N=
師：最後看例4
（打出片子——例4）
例4 高二（1）班要從7名運動員中選出4名組成4×100米接力隊，參加校運會，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種?
（教師讀題，引導分析）
師：從7人中選4人分別安排第壹、二、三、四棒這四個不同任務，壹定與組合和排列有關， 對甲、乙有特殊要求，這就有了不同情況，要分類相加了．先不考慮誰跑哪棒，就說4人的 選擇有幾類情況呢?
生：三類，第壹類，沒有甲乙，有 種選法；第二類，有甲沒乙或有乙沒甲，有 種選 法；第三類，既有甲也有乙，有 種選法．
師：如果把上述三類選法數相加再乘以 行不行?
生：不行，對於上面三類不同選法，並不能都有P44種安排方法．考慮甲、乙二人都不跑中 間兩棒，應有不同的安排方法數是：N= ．
師：第二項中的 是什麽意思呢?
生：第二類中甲、乙兩人只有1人選中時，甲（乙）的排法數量是 ，其他三人的排法數是 ．
師：很好，這個排列組合綜合題在求解中的分類十分重要，大家要認真體會，了解其思路和 方法．
（三）小結
我們通過對4個例題的分析和討論，總結了分配問題，分離排列問題的解法，以及排列、組 合綜合題的解法．
解排列、組合綜合題，壹般應遵循：先組後排的原則．
解題時壹定要註意不重復、不遺漏．
（四）作業
1.四名優秀生保送到三所學樣去，每所學樣至少得1名，則不同的保送方案總數是 種．（ ）