重復做壹系列獨立試驗，每次試驗成功的概率為p（0＜p＜1），試驗做到第n次成功停止，求試驗次數X的數學期

X的可能取值為n，n+1，n+2，…

當X=n+k時，表示試驗進行了n+k次，在最後壹次取得成功的前n+k-1次中，已經失敗了k次，同時成功了n-1次，因而有P{X＝n+k}＝

C

n?1n?k?1

pn(1?p)k(k＝0，1，2，…)，

顯然1＝

∞

k＝0

P{X＝n+k}＝

∞

k＝0

C

n?1n+k?1

pn(1?p)k＝pn

∞

k＝0

C

n?1n+k?1

(1?p)k，

因此對任何n＞0都有

∞

k＝0

C

n?1n+k?1

(1?p)k＝p?n，

EX＝

∞

k＝0

(n+k)P{X＝n+k}＝pn

∞

k＝0

(n+k)

C

n?1n+k?1

(1?p)k=pn

∞

k＝0

n

C

nn+k

(1?p)k＝npn

∞

k＝0

C

nn+k

(1?p)k，

而

∞

k＝0

C

nn+k

(1?p)k＝p?(n+1)，

所以EX＝

n

p

．

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