斐波那契數列，
又稱黃金分割數列，指的是這樣壹個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的壹份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。
定義
斐波那契數列指的是這樣壹個數列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368
特別指出：第0項是0，第1項是第壹個1。
這個數列從第二項開始，每壹項都等於前兩項之和。
斐波那契數列的發明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）
遞推公式
斐波那契數列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N*），那麽這句話可以寫成如下形式：
顯然這是壹個線性遞推數列。
通項公式
(如上，又稱為“比內公式”，是用無理數表示有理數的壹個範例。)
註：此時a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
通項公式的推導
方法壹：利用特征方程（線性代數解法）
線性遞推數列的特征方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}√5表示根號5
方法二：待定系數法構造等比數列1（初等代數解法）
設常數r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
則r+s=1， -rs=1。
n≥3時，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
聯立以上n-2個式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
那麽：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（這是壹個以s^(n-1）為首項、以r^(n-1）為末項、r/s為公比的等比數列的各項的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
=(s^n - r^n)/(s-r）。
r+s=1， -rs=1的壹解為 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
則F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法三：待定系數法構造等比數列2（初等代數解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求數列{an}的通項公式。
解 ：設an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
構造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化簡得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法四：母函數法。
對於斐波那契數列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2時)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那麽有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不難證明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展開式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
於是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
與黃金分割
關系
有趣的是：這樣壹個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向於無窮大時，後壹項與前壹項的比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說後壹項與前壹項的比值小數部分越來越逼近黃金分割0.618、前壹項與後壹項的比值越來越逼近黃金分割0.618）
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到後面，這些比值越接近黃金比.
證明
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
兩邊同時除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的極限存在，設其極限為x，
則lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x?=x+1。
所以極限是黃金分割比..
特性
平方與前後項
從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。
如：第二項1的平方比它的前壹項1和它的後壹項2的積2少1，第三項2的平方比它的前壹項1和它的後壹項3的積3多1。
（註：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而並不是指數列的數字本身的奇偶，比如從數列第二項1開始數，第4項5是奇數，但它是偶數項，如果認為5是奇數項，那就誤解題意，怎麽都說不通）
證明經計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
與集合子集
斐波那契數列的第n+2項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
奇數項求和
偶數項求和
平方求和
隔項關系
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]
兩倍項關系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
應用
生活中斐波那契
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
斐波那契數與植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬鬥菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盞和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選壹片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從壹個位置到達下壹個正對的位置稱為壹個循回。葉子在壹個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在壹個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
黃金分割
隨著數列項數的增加，前壹項與後壹項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同壹斜行的數加起來，即得壹數列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
質數數量
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個連續的數中有且只有壹個被2整除，
每4個連續的數中有且只有壹個被3整除，
每5個連續的數中有且只有壹個被5整除，
每6個連續的數中有且只有壹個被8整除，
每7個連續的數中有且只有壹個被13整除，
每8個連續的數中有且只有壹個被21整除，
每9個連續的數中有且只有壹個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的素數無限多嗎？
尾數循環
斐波那契數列的個位數：壹個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
進壹步，斐波那契數列的最後兩位數是壹個300步的循環，最後三位數是壹個1500步的循環，最後四位數是壹個15000步的循環，最後五位數是壹個150000步的循環。
自然界中巧合
斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要壹段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，壹株樹苗在壹段間隔，例如壹年，以後長出壹條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過壹年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，壹株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬鬥菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣數目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中壹直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是壹片壹片逐漸地生長出來，而不是壹下子同時出現的），每片葉子和前壹片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。1992年，兩位法國科學家通過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗，證實了在系統保持最低能量的狀態下，花朵會以斐波那契數列長出花瓣。
數字謎題
三角形的三邊關系定理和斐波那契數列的壹個聯系：
現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每壹條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最後壹段為56，這時n達到最大為10。
我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關系保留了，但這個數列消失了。這裏，三角形的三邊關系定理和斐波那契數列發生了壹個聯系。
在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的壹個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。
影視作品中的斐波那契數列
斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡壹時的《達芬奇密碼》裏它就作為壹個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》裏又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割壹樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後壹道數學題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設計元素之壹。
推廣
斐波那契—盧卡斯數列
盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每壹項都等於前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。
盧卡斯數列的通項公式為 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n
這兩個數列還有壹種特殊的聯系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
斐波那契數列F(n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
盧卡斯數列L(n)
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F(n)*L(n)
1
3
8
21
55
144
377
987
2584
6765
…
類似的數列還有無限多個，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數列。
如1，4，5，9，14，23…，因為1，4開頭，可記作F[1，4]，斐波那契數列就是F[1，1]，盧卡斯數列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數列就是F[a，b]。
斐波那契—盧卡斯數列之間的廣泛聯系
①任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,4]n
1
4
5
9
14
23
37
60
97
157
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F[1,4]n-F[1,3]n
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,4]n+F[1,3]n
2
7
9
16
25
41
66
107
173
280
…
②任何壹個斐波那契—盧卡斯數列都可以由斐波那契數列的有限項之和獲得，如
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,1](n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
黃金特征與孿生斐波那契—盧卡斯數列
斐波那契—盧卡斯數列的另壹個***同性質：中間項的平方數與前後兩項之積的差的絕對值是壹個恒值，
斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]數列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]數列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]數列：|7*7-2*9|=31
斐波那契數列這個值是1最小，也就是前後項之比接近黃金比例最快，我們稱為黃金特征，黃金特征1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特征是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。
而F[1，4]與F[2，5]的黃金特征都是11，是孿生數列。F[2，7]也有孿生數列：F[3，8]。其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是孿生數列，稱為孿生斐波那契—盧卡斯數列。
廣義斐波那契數列
斐波那契數列的黃金特征1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特征值稱為勾股特征）。
佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱為廣義斐波那契數列。
當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。
當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。
當p=-1，q=2時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特征就是每個數的平方與前後兩數之積的差為1（等差數列的這種差值稱為自然特征）。
具有類似黃金特征、勾股特征、自然特征的廣義——斐波那契數列p=±1。
當f1=1，f2=2，p=2，q=1時，我們得到等比數列1，2，4，8，16……
相關數學
排列組合
有壹段樓梯有10級臺階，規定每壹步只能跨壹級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?
這就是壹個斐波那契數列：登上第壹級臺階有壹種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
類似的，壹枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。
求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式
由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
兔子繁殖問題
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。
壹般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，壹對兔子每個月能生出壹對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麽壹年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的壹對小兔子分析壹下：
第壹個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是壹對
兩個月後，生下壹對小兔對數***有兩對
三個月以後，老兔子又生下壹對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以壹***是三對
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
幼仔對數
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
成兔對數
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
總體對數
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了壹個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後壹項。
這個數列是意大利中世紀數學家斐波那契在<算盤全書>中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質外，還可以證明通項公式為：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
數列與矩陣
對於斐波那契數列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定義
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對於以下矩陣乘法
F(n+1) = 11 F(n)
F(n) 10 F(n-1)
它的運算就是右邊的矩陣 11乘以矩陣 F(n) 得到：
10 F(n-1)
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設矩陣A=1 1 叠代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*1
1 0 F(n) F(0) 0
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義。
另矩陣乘法的壹個運算法則A^n(n為偶數) = A^(n/2)* A^(n/2)，這樣我們通過二分的思想，可以實現對數復雜度的矩陣相乘。
因此可以用遞歸的方法求得答案。
數列值的另壹種求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
斐波那契弧線
斐波那契弧線，也稱為斐波那契扇形線。第壹，此趨勢線以二個端點為準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。然後通過第二點畫出壹條“無形的（看不見的）”垂直線。然後，從第壹個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。
斐波納契弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。斐波納契弧線和斐波納契扇形線常常在圖表裏同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。
要註意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據圖表數值範圍而改變，因為弧線是圓周的壹部分，它的形成總是壹樣的。
於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber Abacci）壹書。他是第壹個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的壹家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在壹個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西裏和普羅旺斯等地研究數學。
斐波那契數列在股市中的應用
時間周期理論是股價漲跌的根本原因之壹，它能夠解釋大多數市場漲跌的奧秘。在時間周期循環理論中，除了利用固定的時間周期數字尋找變盤點之外，還可以利用波段與波段之間的關系進行研究。但無論如何尋找變盤點，斐波那契數列都是各種重要分析的基礎之壹，本文將簡單闡述斐波那契數列及其與市場的關系。
工具/原料
步驟/方法
斐波那契數列由十三世紀意大利數學家斐波那契發現。數列中的壹系列數字常被人們稱之為神奇數奇異數。具體數列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233等，從該數列的第三項數字開始，每個數字等於前兩個相鄰數字之和。而斐波那契數列中相鄰兩項之商就接近黃金分割數0.618，與這壹數字相關的0.191、0.382、0.5和0.809等數字就構成了股市中關於市場時間和空間計算的重要數字。
大到整個宇宙空間到小到分子原子，從時間到空間，從自然到人類社會，政治、經濟、軍事等，各種現象中的規律都能找到斐波那契數的蹤跡。世界著名建築如巴黎聖母院、埃菲爾鐵塔、埃及金字塔等均能從它們身上找到0.618的影子。名畫、攝影、雕塑等作品的主題都在畫的0.618處。報幕員站在舞臺的0.618處所報出的聲音最為甜美、動聽。人的肚臍眼是人體長度的0.618位置，人的膝蓋是從腳底到肚臍眼長度的0.618。戰爭中0.618的運用也是無所不在，小到兵器的制造、中到排兵布陣到戰爭時間周期的運用，相傳拿破侖大帝即敗於黃金分割線。
在金融市場的分析方法中，斐波那契數字頻頻出現。例如，在波浪理論中，壹輪牛市行情可以用1個上升浪來表示，也可以用5個低壹個層次的小浪來表示，還可繼續細分為21個或89個小浪；在空間分析體系中，反彈行情的高度通常是前方下降趨勢幅度的0.382、0.5、0.618；回調行情通常是前方上升趨勢的0.382、0.5和0.618。
斐波那契數列在實際操作過程中有兩個重要意義：
第壹個實戰意義在於數列本身。本數列前面的十幾個數字對於市場日線的時間關系起到重要的影響，當市場行情處於重要關鍵變盤時間區域時，這些數字可以確定具體的變盤時間。使用斐波那契數列時可以由市場中某個重要的階段變盤點向未來市場推算，到達時間時市場發生方向變化的概率較大。
圖1綜合指數（1A0001）2009年7月29日—12月31日日線圖
如圖1所示，綜合指數（1A0001）2009年8月4日的3478點到2009年9月1日階段低點2639點的時間關系是21個交易日，2009年9月1日的階段低點2639點到2009年9月18日的高點3068點是13個交易日的時間，到2009年9月29日的低點2712點是21個交易日，到2009年10月23日的高點3123點的時間是34個交易日，到2009年11月24日的年度次高點3361點的時間是55個交易日。
圖2綜合指數（1A0001）2009年7月10日—12月31日周線圖
如圖2所示，綜合指數（1A0001）2009年8月4日的高點3478點到2009年9月4日2639點的運行時間是5周；2009年9月4日的低點2639點到2009年11月27日反彈高點3361點的時間是13周。
斐波那契數列在股市中的應用
斐波那契數列在股市中的應用
第二個實戰意義在於本數列的衍生數字是市場中縱向時間周期計算未來市場變盤時間的理論基礎。這組衍生數列分別是：1.236、1.309、1.5、1.618、1.809、2、2.236、2.382、2.5等壹系列與黃金分割0.618相關的數字。
在使用神奇數列時主要有六個重要的時間計算方法：
第壹、通過完整的下跌波段時間推算未來行情上漲波段的運行時間。
第二、通過完整的上漲波段時間推算未來行情下跌波段的運行時間。
這兩種比例關系就像生活中我們經常見到的作用力與反作用的關系，乒乓球垂直掉到地面的高度決定乒乓球觸擊地面以後反彈的高度是同樣的道理。
第三、通過上升波段中第壹個子波段低點到高點的時間推算本上升波段最終的運行時間。
第四、通過下降波段中第壹子波段高點到低點的時間推算本下跌波段最終的運行時間。
這兩種比例關系就像生活中我們經常見到的推動力與慣性的關系，當古代弓箭的弓與弦被拉開的距離直接決定了未來箭向前飛行的距離。
第五、通過本上升波段中第壹子波段的兩個相鄰低點的時間推算未來上升波段的最終運行時間。
第六、通過下降波段中第壹子波段的兩個相鄰高點的時間推算本下跌波段最終的運行時間。
這兩種比例關系就像生活中我們經常見到的建築物地基寬度影響未來高度壹樣重要。在材質相同的情況下，地基寬度越大，未來高度越高。
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在這六種重要的時間計算方法中最為重要的就是計算過程中實際使用的參數，利用不同的參數會得到不同的答案，而使用過程中幾乎所有的重要參數都與斐波那契數列有關。由於篇幅原因，這裏先埋個伏筆，我會在以後的文章中為股民朋友詳細闡述計算方法。