黃金分割在數學中的應用

歐多克索斯是公元前4世紀的希臘數學家。他研究了許多比例問題，創立了比例理論。在研究比例的過程中，曾經提出壹個問題:能否將壹條線段分成兩個不相等的部分，使較長的部分是原線段和較短部分的比例中位數？他通過研究發現，壹條已知的線段可以分成兩段，這樣長線段與短線段之比就等於完整線段與長線段之比，即長線段是完整線段與短線段之比的中位數。如果已知線段為ab，C點將ab分為ac，bc，AC > BC，AC2 = ab CB，那麽C點的具體劃分方法是:連接ad，以D為圓心，bd為半徑畫壹條弧，ad與E相交，以A為圓心，ae為半徑畫壹條弧，ab與C相交，那麽C點就是所需的劃分點。因此，歐多克索斯把這種比較稱為“中外比較”。在數學史上，歐多克索斯最早提出中外比較，但希臘人發現得更早。神秘的畢達哥拉斯學派曾以五角星為其標誌，五角星的繪制包含了中外對比。雅典的帕臺農神廟是古希臘的傑作，這座建於公元前5世紀的神廟的長寬比與中外的比例不謀而合。中外比較，後來被世人稱為“黃金分割”。雖然歐多克索斯是第壹個系統地研究黃金分割的人，但它是何時以及為什麽產生的呢？黃金分割的由來人們認為黃金分割的繪制與正五邊形、正十邊形、五角形的繪制有關，尤其是五角形繪制的需要所導致的。五角星形狀是壹種非常耐人尋味的圖案，世界上很多國家的國旗上的“星星”都是畫成五角形的。目前，近40個國家(如中國、美國、朝鮮、土耳其、古巴等。)國旗上有五角星。為什麽是五角而不是其他角？也許這是壹個古老的習慣。五角星的起源很早。現在發現的最早的五芒星圖案是公元前3200年左右在幼發拉底河下遊的馬魯克(今伊拉克)制作的壹塊泥板。古希臘的畢達哥拉斯學派用五角星作為他們的徽章或標誌，稱之為“健康”。可以認為畢達哥拉斯熟悉五角星的做法，說明他掌握了黃金分割法。壹般認為黃金分割是公元前6世紀畢達哥拉斯發現的。系統討論黃金分割的最早記錄是歐幾裏得的《幾何原本》。本書第四冊，講述了利用黃金分割做五邊形和十邊形的問題。在第二冊中，11壹節詳細描述了黃金分割的計算方法，其中寫道:“用H點按中端比截線段ab，使ab: ah = ah: HB”。在《幾何原本》中稱之為“中端比”。直到文藝復興時期，人們重新發現了古希臘數學，發現這種比例廣泛存在於許多圖形的自然結構中，於是高度贊揚了中端比的奇妙性質和用途。意大利數學家帕喬利把中國到終點的比率稱為“神聖比率”；德國天文學家開普勒把中國與末端的比稱為“比例除法”，認為勾股定理“像金子壹樣”，中國與末端的比是“寶石”。第壹個在著作中使用“黃金分割”這個名稱的人是德國數學家m .歐姆，他是發現歐姆定律的G. S .歐姆的弟弟。他在《純初等數學》(第二版，1835)壹書中，用德語單詞“der goldene schnitt”來表達中美之間的比較。之後，這個稱呼逐漸流行起來。黃金分割與“兔子問題”斐波那契是13世紀歐洲著名的數學家。他是意大利人。他於1202年出版的《算盤》壹書，向歐洲人介紹了東方數學。本書修訂版1228中介紹了壹個“兔子問題”。這道題需要計算壹對兔子壹年後能繁殖出多少對兔子。假設壹對兔子每個月可以生壹對兔子，兔子在出生後的第二個月可以生下新的兔子，這樣壹開始是壹對，壹個月後是兩對，兩個月後是三對，三個月後是五對，.....每個月的兔子數量按系列排列:1，2，3，5，8，18。.....被稱為“斐波那契數列”，其結構是從第三項開始，每壹項都是前兩項之和，即fn=fn-1+fn-2(n≥3)，fn代表第n項。如果用G表示黃金分割數，這些比值越來越接近G，其實G就是極限。這個有趣的性質很奇怪:來自兩個完全不同的數學領域的問題卻得出了壹個共同的結果。兩者的神奇聯系，讓黃金分割更加神秘迷人。黃金分割的啟示隨著社會的發展，人們發現黃金分割在自然界和社會中被廣泛應用。比如與黃金分割相關的優化方法中有兩種方法。壹種是本文開頭指出的“0.618法”，這是美國數學家基弗在1953年提出的壹種最優化方法。從1970開始在國內推廣，取得了良好的經濟效益。在現代最優化理論中，它使我們能夠用較少的實驗找到合適的工藝條件和合理的配方。雖然G是壹個無理數，0.168是壹個近似值，但在實際中已經足夠精確了。第二種是分式法，取G的近似值，但不是0.618，而是G的連分式展開的漸近分式，即利用某個斐波那契數列的分數。黃金分割的應用也顯示了壹個數學發展的規律。說明研究和發展數學理論是非常重要的。純理論的發展不壹定對實踐有直接作用，但它揭示的自然規律壹定會指導人們的社會實踐。因此，壹方面要找到解決問題的數學方法，另壹方面也要為純數學理論開拓應用領域。此外，重視“黃金分割”之謎的現象也存在。比如黃金分割與“美”的關系，有人說黃金分割得到的有兩條邊的矩形(即兩條邊的比值=g的矩形)是最美的。這是沒有充分依據的，專家在做社會調查時也否定了這個結論。所以黃金矩形最美的結論是不確定的。由此衍生出的很多猜想自然是不靠譜的。再比如，人體各部位(如從頭頂到肚臍，從肚臍到腳跟)的長度比例，在黃金分割比例中是最美的；建築各部分的比例如果符合黃金比例就是最美的，以此類推。這些說法大多牽強附會。認為樂器的弦長比例等於黃金比例，演奏出來的聲音和諧悅耳，也是壹種誤解。其實和聲音樂的弦長壹定是簡單的，黃金比例是壹個無理數！所謂黃金分割就是這樣的劃分:壹個內點把壹條線段分成短的部分和長的部分，使它們的長度滿足這樣壹個關系:短:長=長:完整。在這個比例公式中，“短”和“長”分別是指短線段和長線段除以內點的長度，而“滿”是指整個線段的長度，即滿=短+長。據說古希臘數學家歐多克索斯首先研究了黃金分割。這就是為什麽它被稱為黃金分割，因為它有許多奇妙的性質和應用。比如長寬比滿足黃金比例的長方形物體(如窗戶、書籍)的形狀，會讓人覺得很美，很順眼。在中世紀，黃金分割作為美的象征，幾乎滲透到了建築和藝術的各個部分，比如說，據說人體雕塑的上半身和下半身的長度，如果符合黃金比例，就是最對稱最美麗的。