分形壹般具有以下特征:[2]
在任何小尺度上都能發現精細結構；
它是如此的不規則，以至於很難用傳統歐幾裏得幾何的語言來描述它。
自相似性(至少粗略地或任意地)
Hausdorff維數將大於拓撲維數(空間填充曲線如希爾伯特曲線除外)；
有壹個簡單的遞歸定義。
因為分形在所有尺度上都是相似的，所以它們通常被認為是無限復雜的(用不精確的術語來說)。自然界中與分形相似的事物包括雲、山、閃電、海岸線和雪花等。但是，並不是所有自相似的東西都是分形。雖然實線在形式上具有自相似性，但並不符合分形的其他特征。
17世紀，數學家兼哲學家萊布尼茨思考了遞歸自相似，分形數學從此逐漸成型(盡管他錯誤地認為只有直線才會自相似)。
直到1872，Karl Veiershtrass給出了壹個處處連續但可微的函數，今天它被認為是壹個分形圖形。1904年，科赫·範·卡卡不滿意韋伊爾施格拉斯的抽象和解析的定義，給出了壹個功能類似但更具幾何意義的定義，這就是今天的科赫雪花.第二年，謝爾賓斯基地毯制成了. 19666.6666666666667最初，這些幾何分形被認為是分形，而不是像現在這樣的二維形狀。1938保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《由與整體相似的部分組成的平面或空間曲線和曲面》中進壹步提出了自相似曲線的概念，他在文中描述了壹種新的分形曲線——李維C形曲線。
格奧爾格·康托也給出了壹個具有不尋常性質的實數子集——康托集，今天也被認為是分形。
復平面的叠代函數在65438+2009年底和20世紀初由儒勒·亨利·龐加萊、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯頓·茹利亞研究，但直到現在，借助計算機繪圖，他們發現的許多函數才顯示出它們的美。
在1960年代，Benhua Mandelberg開始研究自相似性，並寫了壹篇論文，“英國的海岸線有多長？統計自相似性和分形維數。最後在1975年，Mandelberg提出了“分形”這個詞來標記壹個物體，它的Hausdorff維數會大於拓撲維數。曼德爾伯格用卓越的計算機架構圖像描述了這個數學定義，這些圖像具有普適性；很多都是基於遞歸，甚至分形的壹般含義。
立法
制作分形的四種通用技術如下:
逃逸時間分形:由空間(如復平面)中各點的遞推關系定義，如曼德爾伯格集、茹利亞集、燃燒船分形、新分形、利奧波德分形等。逃逸時間公式壹兩次叠代生成的二維矢量場也會生成分形，如果點反復經過這個矢量場。
叠代函數系統:這些分形都有固定的幾何替換規則。康托集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花、龍曲線、T型正方形和芒格海綿都是這種分形的例子。
隨機分形:由隨機的、不確定的過程產生，如布朗運動軌跡、李維飛行、分形景觀、布朗樹等。後者會產生壹種叫做樹分形的分形，比如擴散限制聚集或者反應限制聚集叢。
奇異吸引子:它是由壹個映射或壹組將顯示混沌的初始微分方程的叠代產生的。
[編輯]分類
分形也可以根據其自相似性來分類，有以下三種:
精確自相似性:這是最強的壹種自相似性，分形在任何尺度下看起來都是壹樣的。由叠代函數系統定義的分形通常表現出精確的自相似性。
半自相似性:這是壹種松散的自相似性，分形在不同的尺度下會表現得大致相同(但不精確)。半自相似分形包含了整體分形變形和退化形式的縮減尺寸。遞歸關系定義的分形通常是半自相似的，而不是完全自相似的。
統計自相似性:這是最弱的壹種自相似性，這種分形可以在不同的尺度上保持壹個固定的數值或統計測度。“分形”的大多數合理定義自然會導致某種類型的統計自相似性(分形維數本身是壹種在不同尺度下保持固定的數值度量)。隨機分形是統計自相似的壹個例子，但是不精確，是半自相似的。